数学家发现一种神奇的十三边形！

在日常生活中，除了在装修房子时需要考虑平铺瓷砖之外，我们很少会花心思关心平面“铺砌”（tiling）这件事。但对数学家来说，铺砌与许多难题有关。

  寻找“爱因斯坦” 

在铺砌领域，有一座数学家们在半个多世纪里一直追寻的“圣杯”，这座圣杯名为“einstein”，没错，这个词正是大名鼎鼎的物理学家爱因斯坦的名字！但在这里，它源自于德语中的ein Stein，即“一块石头”的意思，指的是单铺砌块（monotile）。

所谓的“爱因斯坦”，或者说单铺砌块，实则指的是一个可以填满无限平面，且不会自我重复的“非周期性”铺砌块。这里的“非周期性”意味着，由这种形状构成的整体图案，不能通过平移或旋转来恢复相同的图案。

与非周期性铺砌对应的是周期性铺砌，比如一个国际象棋棋盘。假如有一个无限的国际象棋棋盘，它是可以通过平移两格来使其看起来完全一样的。

一个无限延伸的国际象棋棋盘，可以通过平移来获得完全一样的图案。（图/原理）

而寻找非周期性、非重复性铺砌的例子则要困难的多。数学家们发现的第一个非周期铺砌是由超过2万种形状组成的。在后续的研究中，数学家们逐渐将这一数字降低到92，再然后是6，最后是2，也就是著名的彭罗斯铺砌。

在20世纪70年代，数学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）使用两种不同的菱形，完成了非周期性铺砌。但这距离数学家们所追求的“爱因斯坦”还有很大距离。

由两种菱形组成的彭罗斯铺砌。（图/scipython）

一直以来，虽然数学家们在努力寻找只用一种形状就能做到这一点的单铺砌块，却从没有过真正的突破，他们甚至不确定这种形状是否真的存在。现在，他们可能终于找到了。

由多个风筝形状组成的十三边形，是被研究人员成为“帽子”的单铺砌块。（图/D. SMITH ET AL/ARXIV.ORG 2023）

  “风筝”组成的“帽子” 

3月20日，一个由数学家和计算机科学家组成的研究团队，在论文预印网站arXiv上提交了一篇论文，表示他们找到了这样一种由多个“风筝”粘在一起而形成的十三边形，他们将这种形状称为“帽子”。

一个被称为“帽子”的13边形，形成了一个能以不重复的方式铺砌到无限平面的图案。图中的用灰色标记的形状就是一个“帽子”，这是数学家寻找的首个“爱因斯坦”单铺砌块。（图/D. SMITH ET AL/ARXIV.ORG 2023）

Taylor-Socolar铺砌也可以形成非重复性的图案，但它的问题是Taylor-Socolar铺砌块是不相连。这就扩展了铺砌块的定义。（图/PARCLY TAXEL/WIKIMEDIA COMMONS &  Scholar-Taylor）

研究人员表示，最新发现的形状是首个没有争议的单铺砌块。在论文中，他们从两个方面论证了“帽子”就是一个“爱因斯坦”。

一方面，他们注意到“帽子”会自己排列成更大的簇，称为元簇，这些元簇可以排列成更大的超簇，并无限循环下去形成一种层级结构，这种结构常见于非周期性的铺砌。这表明铺砌“帽子”可以填满一个无限的平面。

另一方面，他们利用了“帽子”可以产生连续统的事实，证明了即使“帽子”的边的相对长度发生变化，由帽子铺砌而成的图案也不会失去非周期性。

通过改变“帽子”的边的相对长度，可以产生一个形状的连续统。（图/D. SMITH ET AL/ARXIV.ORG 2023）

  更多“爱因斯坦” 

虽然这篇论文还没有经过同行评审，但许多接受了采访的数学家都认为，这个结果似乎经得起严苛的审查。

“帽子”的发现或许将对许多应用型的研究产生重大影响。例如2011的诺贝尔化学奖，就授予了因发现准晶体的材料科学家。准晶体就是一种有着有序且永不重复的原子排列的材料，它们通常被描述为彭罗斯铺砌的类似物。由此可见，新发现的非周期性单铺砌块很可能会引发材料科学的进展。

此外，“帽子”也可以给艺术家们带来灵感。可以说，把“帽子”印在帽子上，或者其他衣物或艺术品上，应该只是时间问题。

不过，研究人员表示，帽子并不是终点，他们还将继续寻找更多的“爱因斯坦”。现在，这扇门已经打开，就让我们期待，还有更多新的形状带给我们惊喜。