We establish quantitative compactness estimates for finite difference schemes used to solve nonlinear conservation laws. These equations involve a flux function $f(k(x,t),u)$, where the coefficient $k(x,t)$ is $BV$-regular and may exhibit discontinuities along curves in the $(x,t)$ plane. Our approach, which is technically elementary, relies on a discrete interaction estimate and one entropy function. While the details are specifically outlined for the Lax-Friedrichs scheme, the same framework can be applied to other difference schemes. Notably, our compactness estimates are new even in the homogeneous case ($k\equiv 1$).

中文翻译：

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不连续通量守恒定律差分格式的紧致性估计

我们为用于求解非线性守恒定律的有限差分格式建立了定量的紧致性估计。这些方程涉及通量函数 $f(k(x,t),u)$，其中系数 $k(x,t)$ 是 $BV$-正则，并且可能会沿着 $(x,t) 中的曲线表现出不连续性)$ 飞机。我们的方法在技术上是基本的，依赖于离散相互作用估计和一个熵函数。虽然具体概述了 Lax-Friedrichs 方案的细节，但相同的框架可以应用于其他差分方案。值得注意的是，即使在同质情况下（$k\equiv 1$），我们的紧凑性估计也是新的。